2.5.3 Exemplo: Álgebra Simbólica
A manipulação de expressões algébricas simbólicas é um processo complexo que ilustra muitos dos problemas mais difíceis que ocorrem no design de sistemas em larga escala. Um sistema de álgebra mostrará a estrutura orientada a dados de uma forma particularmente dramática. Além disso, ao estender nosso sistema genérico com operações sobre polinômios, veremos como a capacidade de incorporar diferentes representações pode ser crucial na construção de um sistema prático.
Aritmética de Polinômios
Polinômios podem ser vistos como uma generalização de números ordinários. Eles podem ser adicionados, multiplicados e testados para igualdade. No entanto, a aritmética de polinômios é mais complexa que a aritmética ordinária.
Adição de Polinômios
Para adicionar dois polinômios, somamos os termos de mesma ordem:
(3x² + 5x + 7) + (2x² + 4x + 1) = 5x² + 9x + 8
Multiplicação de Polinômios
Para multiplicar polinômios, multiplicamos cada termo do primeiro polinômio por cada termo do segundo:
(3x + 2) × (5x + 1) = 15x² + 3x + 10x + 2 = 15x² + 13x + 2
Representando Polinômios
Representamos um polinômio como uma lista de termos. Cada termo é um par contendo a ordem (grau) e o coeficiente:
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Operações em Listas de Termos
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Multiplicação de Polinômios
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Hierarquia de Tipos: de Inteiros a Polinômios
O sistema cria uma abstração de dados recursiva onde:
- Nível 1: Números (inteiros, racionais, complexos)
- Nível 2: Polinômios com coeficientes numéricos
- Nível 3: Polinômios com coeficientes polinomiais (permitindo representação multivariada)
Essa recursão permite operações em polinômios cujos coeficientes são eles mesmos polinômios, tratando automaticamente aninhamento arbitrário através de mecanismos de dispatch orientados a dados.
Por exemplo, p(x) = (3x + 2)y + 1 pode ser representado como um polinômio em y cujos coeficientes são polinômios em x.
Exercícios
Exercício 2.87: Instale is_equal_to_zero para polinômios no sistema genérico aritmético.
Exercício 2.88: Estenda o sistema de polinômios para incluir subtração de polinômios.
Exercício 2.89: Defina funções que implementam a representação de lista de termos descrita acima como apropriada para polinômios densos.
Exercício 2.90: Suponha que queremos ter um sistema de polinômios que seja eficiente para ambos, polinômios esparsos e densos. Uma maneira de fazer isso é permitir que ambas as representações coexistam no sistema.
Exercício 2.91: Implemente divisão de polinômios.
Exercício 2.92: Estenda o sistema de polinômios para permitir polinômios em diferentes variáveis serem adicionados.
Exercício 2.93-2.97: Estes exercícios exploram sistemas de álgebra mais sofisticados, incluindo aritmética racional com coeficientes polinomiais, simplificação de expressões e cálculo de máximo divisor comum (GCD) para polinômios.
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