2.3.2 Exemplo: Diferenciação Simbólica

Como uma ilustração de manipulação de símbolos e um exemplo adicional de abstração de dados, considere o design de uma função que realiza diferenciação simbólica de expressões algébricas.

Regras de Derivação

O programa implementa quatro regras básicas de diferenciação:

$$\begin{array}{ll} \dfrac{dc}{dx} = 0 & \text{(constante)} \\[10pt] \dfrac{dx}{dx} = 1 & \text{(variável)} \\[10pt] \dfrac{d(u+v)}{dx} = \dfrac{du}{dx} + \dfrac{dv}{dx} & \text{(soma)} \\[10pt] \dfrac{d(uv)}{dx} = u\dfrac{dv}{dx} + v\dfrac{du}{dx} & \text{(produto)} \end{array}$$

Representação de Expressões Algébricas

Usamos notação de prefixo para representar expressões. Por exemplo, a expressão ax + b é representada como:

list("+", list("*", "a", "x"), "b")

O Programa de Diferenciação

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Representando Expressões Algébricas

Implementamos os seletores e construtores para expressões:

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Simplificação Algébrica

Podemos melhorar o programa fazendo os construtores realizarem simplificação:

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Exercícios

Exercício 2.56: Estenda o programa básico de diferenciação para lidar com mais regras de diferenciação, como a regra da potência.

Exercício 2.57: Estenda o programa de diferenciação para lidar com somas e produtos de quantidades arbitrárias de termos (dois ou mais).

Exercício 2.58: Suponha que queremos modificar o programa de diferenciação para que ele funcione com notação algébrica ordinária (infixa), em que + e * são operadores infixos. Como o programa precisaria ser modificado?

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